فرهنگ و اندیشۀ ریاضی
سال ٣٧ ،شمارۀ ۶٢) بهار و تابستان ١٣٩٧ ،(صص. ١ تا ١٣
چرا فلسفه های سه گانۀ مشهور ریاضی مهم هستند؟
مرتضی منیری
چکیده
در این مقاله، به این موضوع می پردازیم که چرا فلسفه های مشهور ریاضی، یعنی منطق گرایی،
شهودگرایی و صورتگرایی که هر یک در طول تاریخ با ایرادهای اساسی مواجه شدند، در
زمان پیدایش خود موجه بوده اند. نشان می دهیم که این فلسفه ها بازتاب اندیشه های فلسفی
ریاضی زمانۀ خود بوده اند. این فلسفه ها علی رغم ایرادهایی که به آنها وارد شده است، تأثیری
مهم در شکل گیریِ دیدگاه نسل های بعدی ریاضیدانان و فیلسوفان ریاضی داشته اند. به علاوه
دستاوردهای جانبی آنها در ریاضیات و علوم رایانه نیز شگرف بوده است.
١ .سرآغاز
سه فلسفۀ مشهور ریاضی که در اواخر قرن نوزدهم و اوایل قرن بیستم میلادی پدید آمدند، عبارت اند
از شهودگرایی، منطق گرایی و صورتگرایی. احتمالا خواننده می داند که این فلسفه ها، دست کم در شکل اولیۀ
خود، با ایرادهایی مواجه شدند و اکنون شکل های اولیۀ آنها طرفداران زیادی ندارد. کتاب های درسی
کلاسیک در باب فلسفۀ ریاضی، بخش هایی عمده را به توضیح این فلسفه ها اختصاص می دادند در حالی
که کتاب های جدیدتر به مرور کوتاه و سریع آنها بسنده می کنند و به توضیح فلسفه های به روزتر مانند
ساختارگرایی، نام گرایی و طبیعی گرایی و تحولات جدید و بحث انگیز در ریاضیات مشغول می شوند. برای
نمونه، کتاب های [١ [و [۶ [را ببینید. اما این به معنای آن نیست که این فلسفه ها موجه نیستند و یا اینکه
یافتن ایرادهای آنها کاری ساده بوده است. در واقع طی چندین دهه بسیاری از بزرگترین ریاضیدانان و
فیلسوفان جهان، این فلسفه ها را بررسی کرده اند، رشد داده اند و سرانجام انتقاداتی به آنها وارد کرده اند.
عبارات و کلمات کلیدی. منطق گرایی؛ شهودگرایی؛ صورتگرایی؛ قضیۀ گودل؛ فلسفۀ ریاضی.
© ١٣٩٧) انجمن ریاضی ایران)
١
٢ مرتضی منیری
،
٣
٢ ،هانری پوانکاره
کافی است نام چندتا از بزرگترین آنها را ذکر کنیم: داوید هیلبرت١ ،جان فون نویمان
۴ و هرمان وایل۵ .برخی فیلسوفان مطرح در این زمینه عبارت اند از: گوتلوب
لویتزن اخبرتوس یان براوئر
۶ ،برتراند راسل٧ و لودویگ ویتگنشتاین٨ .در مورد فلسفه های جدیدترِ ریاضی که برخی از آنها را ذکر
فرگه
کردیم، نام هایی در این سطح را دست کم در میان ریاضیدانان نمی توان دید.
ریاضیات از ابتدا الهام بخش و در عین حال، دغدغۀ بسیاری از فیلسوفان بزرگ بوده است؛ از
افلاطون گرفته تا کواین٩ .معمولا زمانی که ریاضیدانانِ علاقه مند به سؤالات کلی دربارۀ ریاضیات، به این
امور می پردازند، گفته می شود که به مبانی ریاضیات پرداخته اند و هنگامی که فیلسوفان به آنها مشغول
می شوند، به فلسفۀ ریاضی پرداخته اند. پیامدهای ریاضی تلاش های ریاضیدانانی که به مبانی ریاضیات
پرداخته اند، مسلماً بیشتر بوده است. البته فلسفه های جدید ریاضی نیز هریک با انتقادهای زیادی روبه رو
شده اند و پیروان آنها تلاش دارند تا به این انتقادها پاسخ دهند. ساختارگرایی یکی از مهم ترین فلسفه های
اخیر ریاضی است که مورد توجه ریاضیدانان قرار گرفته است. شکل های مختلفی از این رویکرد مطرح
شده است. به طور کلی در این فلسفه، اصالت به ساختارهای ریاضی داده می شود نه به اشیای ریاضی .
اشیای ریاضی تنها جایگاه هایی در این ساختارها هستند. یکی از انواع ساختارگرایی، برای نظریۀ رسته
به عنوان مبانی ریاضیات، جایگاهی مهم قائل است. در مورد اینکه این فلسفه با تجربۀ واقعی ریاضیات
هماهنگ باشد یا نه، انتقادهایی وارد شده است [٢.[
هر سه بازیگر اصلی فلسفه های سه گانۀ ریاضی، اصالتاً ریاضیدان بوده اند. هیلبرت در کنار پوانکاره
نامدارترین ریاضیدان عصر خود بود. براوئر یک توپولوژی دان پیشرو بود. فرگه تحصیلات خود را در زمینۀ
ریاضیات انجام داده بود و دروس مختلف ریاضی را تدریس می کرد.
منطق گرایی فرگه در فلسفۀ ریاضی با نقش او در بنیانگذاریِ فلسفۀ تحلیلی که از حوزه های مسلط
فلسفۀ معاصر است، پیوندی ژرف دارد. از دیدگاه ریاضی صرف نیز کار او را می توان در پیوند با کار
ریاضیدانانی همچون کانتور١٠ ،پئانو١١ و ددکیند١٢ دانست. در عین حال، فرگه منطق جدید را به عنوان یکی
از لوازم فلسفه اش بنیان گذاشت. امروزه منطق ریاضی بسیار توسعه یافته و شامل نظریۀ مجموعه ها، نظریۀ
مدل ها، نظریۀ محاسبه پذیری و نظریۀ برهان شده است. شهودگرایی براوئر ریشه ای عمیق در آثار بزرگترین
فیلسوفان قبل از او از قبیل کانت١٣ دارد. از سوی دیگر، منطق شهودی که بر اساس فلسفۀ ریاضی براوئر
پدید آمد، امروزه کاربردهای فراوانی در علوم نظری رایانه یافته است. سرانجام، صورتگرایی هیلبرت منجر
به قضیه های ناتمامیت گودل١۴ گردید که از اهمیت بنیادی فلسفی برخوردارند. یکی از دستاوردهای جانبی
١David Hilbert ٢
John von Neumann ٣Henri Poincaré ۴L. E. J. Brouwer ۵Hermann Weyl
۶Gottlob Frege ٧Bertrand Russell ٨Ludwig Wittgenstein ٩Willard Van Orman Quine ١٠Georg
Cantor ١١Giuseppe Peano ١٢Richard Dedekind ١٣Immanuel Kant ١۴Kurt Gödel
چرا فلسفه های سه گانۀ مشهور ریاضی مهم هستند؟ ٣
گودل در خلال اثبات قضیه هایش، مشارکت او در خلق نظریۀ محاسبه پذیری و علوم رایانه است. از جهت
دیگر، صورتگرایی هیلبرت منجر به گسترش به کارگیریِ روش اصل موضوعی در ریاضیات شده است.
مارتین دیویس١ ،منطق دان و ریاضیدان بزرگ (و یکی از چهار نفری که تلاش هایشان منجر به حل
مسئلۀ دهم هیلبرت شد)، در کتاب خود [٣ [داستان پیدایش رایانه های امروزی را از دید تاریخی شرح
می دهد. او با لایب نیتس٢ آغاز می کند و ایدۀ او را برای ساختن ماشینی محاسب که بتواند دربارۀ عقاید
متضاد فیلسوفان داوری کند، توضیح می دهد. سپس به جرج بول٣ می پردازد که منطق را به دستگاهی
جبری تبدیل کرد. به دنبال آن، فرگه مطرح می شود که نخستین بار یک دستگاه منطقی صوری تمام را
معرفی کرد. از آنجا که فرگه منطق را به عنوان پایه ای برای ریاضیات می خواست، می بایست آن را مستقل
از همۀ شاخه های ریاضیات معرفی می کرد. این، گامی بزرگ در راستای ایدۀ لایب نیتس بود، زیرا قدم
اول در بررسی ماشینی آراء، ترجمۀ آنها به زبان صوری است. بدین سان، راه برای معرفی زبان های صوریِ
رایانه ای باز شد. در ادامۀ کتاب، به کانتور و ظهور رویکرد فرامتناهی به ریاضیات پرداخته می شود و نیز به
هیلبرت که رویکرد صورتگرایانه را برای نجات ریاضیات از تناقض هایی در پیش گرفت که استفادۀ بی محابا
از این روش های فرامتناهی باعث آنها بود. هیلبرت مسئله ای مهم را مطرح کرد که به نوعی جلوه گر آرزوی
لایب نیتس بود: مسئلۀ تصمیم که به زبان امروزی دربارۀ وجود یا عدم الگوریتمی است که بتواند تعیین کند
آیا در دستگاه منطقی فرگه، از مجموعه ای متناهی از فرض های داده شده، نتیجه ای مورد نظر قابل استنتاج
است یا نه. به زبان امروزی، آیا منطق مرتبۀ اول تصمیم پذیر است. اَلن تورینگ۴ جوانی از دانشگاه کمبریج
در تلاش برای حل این مسئله، به تحلیل مفهوم عملیات الگوریتمی توسط انسان و سپس ماشین پرداخت
و سرانجام، موفق شد ضمن معرفی اولین مدل ریاضی وارِ الگوریتم (ماشین تورینگ)، به سؤال هیلبرت
پاسخ منفی دهد: چنین الگوریتمی وجود ندارد. تورینگ با این کار یکی از پیشگامان طراحی ماشین های
محاسب شد. تلاش های او و دیگران، از جمله فون نویمان، به ساخت رایانه های امروزی منجر شد.
زمانی که به سادگی صحبت از کنار گذاشتن این فلسفه ها می کنیم، باید دستاوردهای فوق را به یاد
داشته باشیم. صرف نظر از جنبه های یاد شده، باید بدانیم که این فلسفه ها در واقع به طور کامل کنار گذاشته
نشده اند. منطق گرایانِ جدید سر برآورده اند. شهودگرایی مدافعان جدیدی از قبیل مایکل دامت۵ یافته
و روش هایی جدید برای توجیه آن به کار گرفته شده است. به علاوه مکتب های ساختگرایانۀ غیر براوئریِ
جدیدی به وجود آمده اند از قبیل مکتب روسی نضج گرفته در دهۀ چهل میلادی که تأکید زیادی بر بازگشتی
(الگوریتمی) بودنِ فرآیند ساخت اشیای ریاضی دارد.
فلسفۀ صورتگرایی هیلبرت به شکل های جدیدی ادامه یافته است. شاخه ای جدید از منطق ریاضی
۶ وجود دارد که بر پایۀ دیدگاه های اولیۀ هیلبرت بنا شده است. ریاضیات وارونه
به نام ریاضیات وارونه
١Martin Davis ٢Gottfried Wilhelm Leibniz ٣George Boole ۴Alan Turing ۵
Sir Michael Dummett
۶
reverse mathematics
۴ مرتضی منیری
پروژه ای در منطق ریاضی است که توسط هاروِی فریدمن١ در دهۀ هشتاد میلادی آغاز شد. هدف پروژه این
است که مشخص کند برای اثبات یک قضیۀ معمولی در ریاضیات، به چه اصول حداقلی نیاز است. در
ریاضیات وارونه برای اینکه نشان دهیم که یک دستگاه منطقی مانند S ضعیف ترین دستگاهی است که
٢-برل در مورد فشردگی بازۀ [١, ٠ [را ثابت کند،
می تواند یک قضیۀ ریاضی معمولی T ،مانند قضیۀ هاینه
دو کار باید انجام شود. ابتدا باید نشان داد که S ،T را ثابت می کند. دوم اینکه باید نشان داد خودِ T ،در
یک دستگاه پایه ایِ مناسب مانند B ،همۀ اصول S را ثابت می کند. از این، نتیجه می شود که هیچ دستگاه
′S که شامل B باشد، نمی تواند T را ثابت کند. دستگاه پایه ایِ B،
اصل موضوعی ضعیف تر از S مانند
معمولا یکی از زیر نظریه های حساب مرتبۀ دوم انتخاب می شود به طوری که بتوان مبانی ریاضی حداقلی
لازم را در آن صوری سازی کرد.
در ادامه به ایده های اولیه، زمینه های تاریخی و همچنین کاربردهای فلسفه های مذکور اشاره می کنیم.
٢ .منطق گرایی
اندیشۀ تحویل حساب به منطق، دنبالۀ طبیعی برنامۀ حسابی سازیِ آنالیز ریاضی است که توسط
ریاضیدانان بزرگی همچون ددکیند آغاز شد. البته انگیزۀ شخصی فرگه بیشتر به چالش کشیدن آرای فلسفی
کانت و جان استوارت میل٣ دربارۀ مبانی حساب بود. فرگه هفده سال از ددکیند جوان تر بود و در زمان
آغاز کارش، حسابی سازیِ آنالیز به تازگی کامل شده بود. در واقع برخی ددکیند و حتی کانتور را در پدید
آمدنِ منطق گرایی بسیار سهیم می دانند [٩ ،١٠ .[تعریف کانتور از مفهوم هم عددی، نقشی مهم در تعریف
عدد طبیعی توسط فرگه داشت. البته این دو، بر سر حق تقدم ارائۀ این مفهوم با هم نزاع داشتند. مهم ترین
کار فرگه را می توان ساخت دستگاه منطقی لازم برای این کار دانست.
هدف ریاضیدانان، دقیق کردن مبانی آنالیز ریاضی بود که به نظر آنها فاقد دقت کافی بود. اعتقاد بر
این بود که با استوار کردن دستگاه اعداد حقیقی بر دستگاه اعداد طبیعی که جایگاهی مطمئن در نظر گرفته
می شد، این کار عملی است. اما این سؤال مطرح شد که خودِ حساب اعداد طبیعی بر چه پایه ای استوار
است. اصول منطقی از قبیل اصل امتناع نقیضین یا اصل طرد شق ثالث، از اصول بنیادی تفکر محسوب
می شدند. به طور طبیعی این، مستحکم ترین مبنای ممکن به نظر می رسید. فرگه با استفاده از زبان منطقی
ابداعی خود، این قدم آخر را برداشت. اما با پیدا شدن تناقض در دستگاه منطقی اولیۀ او، راسل با ابداع
نظریۀ انواع۴ ،تلاش کرد این برنامه را به سرانجام برساند. خودِ نظریۀ انواع، بعدها تکامل یافت و امروزه
جایگاهی محکم در علوم رایانه یافته است.
١Harvey Friedman ٢Eduard Heine ٣
John Stuart Mill ۴
type theory
چرا فلسفه های سه گانۀ مشهور ریاضی مهم هستند؟ ۵
مسیر دیگر برای حل مشکلات منطق گرایی، نظریۀ صوری مجموعه ها بود که مبنایی جامع برای
ریاضیات فراهم کرد. البته خودِ نظریۀ صوری مجموعه ها را می بایست در چارچوب برنامۀ صورتگرایی
در فلسفۀ ریاضی قرار داد. در بخش های بعدی، به این مکتب خواهیم پرداخت. در اینجا ما به تعریف فرگه
از عدد، عمدتاً در قالب نظریۀ امروزیِ مجموعه ها می پردازیم.
آیا تعریف نظریه مجموعه ایِ اعداد طبیعی عجیب است؟ ٢ چیست؟ جواب این سؤال آسان نیست.
همان گونه که جواب سؤال «عدالت چیست؟» آسان نیست. فیلسوفان اخلاق سعی کرده اند تا پاسخی برای
این سؤال بیابند اما هنوز جواب قانع کننده ای که عموم فیلسوفان را راضی کند، به دست نیامده است. (آیا
وضع موجود اخلاقی در جهان، گواه این نیست؟) اما این سؤال، جواب افلاطونی ساده ای دارد. عدالتِ
این جهانی، نسخه ای از مثالِ افلاطونی عدالت در عالم مثُل است و همۀ ما از طریق روحمان که مادی
نیست، از آن مطلع هستیم. پس از تولد، درد زایمان باعث فراموشی می شود. فرآیند یادگیریِ دوبارۀ این
مفهوم در واقع یادآوری است. در مورد چیستی عدد ٢ هم جواب افلاطونی مشابهی وجود دارد. در واقع
افلاطون گرایی را می توان آن قدر وسعت داد تا شامل همۀ ذوات ریاضی بشود که اکنون یا در آینده معرفی
می شوند. این پاسخ، قانع کننده به نظر می آید. البته فراموشی برخی بسیار عمیق است و با این جواب،
قانع نمی شوند.
فرگه تلاش کرد عدد ٢ را تعریف کند. دوتا سیب یا دوتا پرتغال. شاید مجموعۀ متشکل از دوتا سیب
یا دوتا پرتغال، زیاد معقول نباشد. شاید انتخاب درست، مجموعۀ همۀ این دوتایی ها باشد؟ این انتخاب
فرگه بود. به زبان امروزی، به زعم فرگه عدد ٢ برابر با مجموعۀ همۀ مجموعه های دو عضوی است. به
این ترتیب، عدد ٢ تعمیمی طبیعی از همۀ مجموعه های دو عضوی می شد. البته خودِ فرگه به جای مجموعه
صحبت از دامنۀ صدق محمول می کرد. راسل نشان داد که روش فرگه برای این نوع تعریف، به تناقض
منجر می شود. پارادکس راسل در مورد تعریف فرگه از اعداد، ریشه در اصلی موسوم به قاعدۀ پایه ای V
داشت که فرگه آن را پذیرفته بود. یک نتیجۀ این اصل این است که دامنۀ صدق هر محمول وجود دارد. اما
اگر مانند راسل، محمول ‘x /∈ x ‘را در نظر بگیریم و دامنۀ صدق آن را A بنامیم، با این مشکل برخورد
خواهیم کرد که هر یک از دو حالت A ∈ A و A ∈/ A به تناقض منجر می شود. بعدها نشان داده شد که
١ برای این منظور کفایت می کند. در این اصل، با استفاده از مفهوم
اصلی ضعیف تر موسوم به اصل هیوم
تناظر یک به یک، مفهوم تعداد اعضای دامنۀ صدق یک محمول به طور سیاقی٢ تعریف می شود. این اصل
برای اثبات ویژگی های اعداد کفایت می کند و دستگاه حاصل، سازگار می شود. پس مشکل اصلی روش
فرگه برای تحویل حساب به منطق، ناسازگاری نیست. مشکل منطق گرایی این است که اصولش پا را از
حیطۀ منطق صرف بیرون می گذارند. این در مورد اصولی که فرگه به کار برد و همچنین اصولی که دنباله روان
١David Hume ٢
contextual
۶ مرتضی منیری
او در تحویل حساب به منطق به کار بردند نیز صادق است. بنابراین دربارۀ سودمندیِ این رهیافت، تردید
وجود دارد.
در مورد رویکرد نظریه مجموعه ای، پیشنهاد فون نویمان برای فرار از شکل مجموعه ایِ پارادکس راسل،
انتخاب یک مجموعۀ دو عضوی خاص به عنوان عدد ٢ بود. اما کدام مجموعه؟ در نظریۀ مجموعه ها از
مجموعۀ تهی آغاز می شود و با عمل های مجموعه ای، بقیۀ مجموعه ها ساخته می شوند. انتخاب های متعددی
در اینجا وجود دارد. پیشنهاد فون نویمان برای تعریف عدد ٢ ،مجموعۀ شامل مجموعۀ تهی و مجموعۀ
تک عضوی شامل تهی، بود. این جوابی مناسب است. بر همین اساس، می توان همۀ اعداد طبیعی و
اعمال روی آنها را تعریف و ویژگی های آنها را به کمک اصول نظریۀ مجموعه ها ثابت کرد.
اصول نظریۀ مجموعه ها در یک فرآیند تاریخی و با مشارکت بسیاری از ریاضیدانان تدوین شده است.
١ نقشی مهم داشته و جمع بندی نهایی آن، به نام تسرملو و فرانکل٢ ثبت شده
البته در این میان، تسرملو
است: دستگاه اصل موضوعی تسرملو-فرانکل یا ZF .اما مشکل این رویکرد چیست؟ همان طور که بعداً
خواهیم دید، بنابر قضیه های ناتمامیت گودل، ZF تمام نیست و ضمناً نمی تواند سازگاری خود را ثابت کند.
اما به اعتقاد برخی، این مطلب اثری ویرانگر بر رویکرد فرگه ندارد [١٣ ،[زیرا رهیافت فرگه صورتگرایانه
نیست. در واقع فرگه، افلاطون گرایانه می اندیشیده است. از نظر او اعداد واقعاً وجود دارند. تعریف های
فرگه توصیفی هستند نه سازنده.
از دیدگاه افلاطون گرایانۀ کلی، اصول نظریۀ مجموعه ها اگر صادق باشند، که البته ریاضیدانان تا حدود
زیادی در مورد این موضوع توافق دارند، نمی توانند ناسازگار باشند، زیرا فقط ویژگی های مجموعه هایی را که
وجود دارند، توصیف می کنند. البته استفاده از نظریۀ مجموعه ها برای ساختن اعداد، فراتر از محدودیت های
ذاتی روش مورد نظرِ فرگه است. برای مثال، یکی از اصول این نظریه ، اصل بی نهایت است. پذیرش این
اصل، لازمۀ پذیرش وجود مجموعۀ اعداد طبیعی است. آیا منطق صرف می تواند وجود چیزی ویژه از نوع
نامتناهی را نتیجه دهد؟ آیا این اصلی منطقی است؟ بسیاری این را نمی پذیرند.
٣ .شهودگرایی
براوئر در شهودگرایی، وارث ساختگرایان پیش از خود بود. ساختگرایی تاریخچه ای طولانی شامل نام
٣ و برل۴ را
بسیاری از ریاضیدانان بزرگ پیش از براوئر دارد. در میان متأخران، می توان پوانکاره، کرونکر
ذکر کرد. به طور کلی تأکید آنها بر شهود ریاضی، در مقابل منطق و استدلال گام به گام، بوده است. به اعتقاد
براوئر، ریاضیات به اصول بدیهی منطقی تحویل نمی شود. البته ریاضیات، دانشی قراردادی و دربارۀ بازی
١Ernst Zermelo ٢Abraham Fraenkel ٣Leopold Kronecker ۴Émile Borel
چرا فلسفه های سه گانۀ مشهور ریاضی مهم هستند؟ ٧
با نمادها هم نیست. ریاضیات، محصول تفکر آدمی و خلاقیت ناب او است. ریاضیات، مستقل از زبان
است و نوشتن در ریاضیات صرفاً راهی برای انتقال آن به دیگران است.
از دیدگاه فلسفی، شهودگرایی ریشه در فلسفۀ کانت دارد. به اعتقاد کانت، ذهن بشر نقشی فعال در
شناخت دارد. دو شاخۀ اصلی ریاضیات، یعنی حساب و هندسه به ترتیب، ریشه در نحوۀ درک ناگزیر ما از
زمان و مکان دارند. در مورد آنها، به گونۀ دیگری نمی توانیم بیندیشیم. از این دیدگاه، قضیه های ریاضی،
علی رغم اینکه تحلیلی (همان گویی) نیستند، پیشینی (مستقل از تجربۀ حسی) هستند. ایدۀ شهودگرایی
بسیار جذاب است. البته این ایده علاوه بر امتیازی که ظاهراً به ریاضیات می دهد، محدودیت هایی نیز بر
آن تحمیل می کند. برای مثال، آیا ذهن آدمی می تواند بی نهایتِ بالفعل را درک کند؟ چنین به نظر نمی آید.
پس باید خود را با بی نهایتِ بالقوه راضی سازیم. اما ریاضیات جدید، پر از بی نهایت های بالفعل است.
اهمیت و نقش اساسی براوئر در فلسفۀ ریاضیات این است که او در جایگاه یک ریاضیدان بزرگ به
معنای معمول آن، تلاش کرد تا آنجا که می تواند ریاضیات را بر اساس ساختمان های ذهنی بازسازی کند.
برای مثال، او در ارائۀ تصویری شهودگرایانه از اعداد حقیقی موفق شد؛ هرچند این اعداد، نمایشی متناهی
ندارند. البته با این روش، همۀ ریاضیاتِ استاندارد حال حاضر به دست نمی آید و ایراد اصلی که به کار او
گرفته شده، همین است.
در زمینۀ حساب، براوئر مانند کانت معتقد بود که حساب ریشه در شهود ذهن انسان از زمان دارد
و پیشینی است. اما در مورد هندسه، به خلافِ کانت و تحت تأثیر پیدایش هندسه های نااقلیدسی، چنین
اعتقادی نداشت. در مورد هندسه می بایست با تکیه بر تجربه، به انتخاب نوع آن دست زد [۴ .[با توجه
به این عدم قطعیت موجود در هندسه، تعبیر هندسی اعداد حقیقی نیز دچار مشکل می شود و نیاز است
که با استفاده از مصالحی بنیادی تر در ریاضی ساخته شوند. البته هیچ کدام از روش های متداول ساختن
اعداد حقیقی در ریاضیات، مانند برش های ددکیند یا دنباله های کُشی١ ،از دید براوئر پذیرفتنی نبودند، زیرا
یک عدد حقیقی به شکل یک مجموعۀ نامتناهی بالفعل در نظر گرفته می شد. او برای این کار از اشیایی که
آنها را دنباله های انتخاب نامید، استفاده کرد. دنباله های انتخاب متشکل از اعداد گویا هستند و می توانند
بدون هیچ قاعدۀ از پیش تعیین شده، با ارادۀ آزاد ذهن ریاضیدان در گذر زمان ساخته شوند. بی قاعده بودن
این دنباله ها باعث می شود که بتوان به کمک آنها همۀ اعداد حقیقی را ساخت.
چون در هیچ لحظۀ مشخصی از زمان، به تمامی جمله های این دنباله ها دسترسی وجود ندارد، عجیب
نیست که تساوی آنها اصطلاحاً تصمیم ناپذیر است. برای توجیه این موضوع، براوئر دنباله ای از اعداد گویا
را برحسب یک مسئلۀ حل نشدۀ ریاضی به گونه ای تعریف کرد که همگرا باشد و حد آن تنها زمانی صفر باشد
که آن مسئله صادق است. برای مثال، فرض کنید (n(A این ویژگی باشد که ۴ + ٢n مجموع دو عدد
١Augustin-Louis Cauchy
٨ مرتضی منیری
اول است. حدس گلدباخ١ می گوید که به ازای هر n) ،n(A صادق است. حال دنبالۀ {αn {را به شکل
زیر تعریف می کنیم:
αn =



١
٢n (∀k ≤ n) A(k)
١
٢
k ¬A(k) & k ≤ n & (∀m < k) A(m)
این دنباله از اعداد گویا به روشنی همگرا است و لذا یک عدد حقیقی مانند a را مشخص می کند. داریم
٠ = a اگر و تنها اگر (n(A به ازای هر n برقرار باشد. یعنی تشخیص صفر بودن یا نبودنِ a بستگی به
دانستن جواب حدس گلدباخ دارد که دست کم در حال حاضر جواب آن را نمی دانیم. پس اگر مانند براوئر،
صدق ترکیب فصلی دو گزاره را منوط به داشتن برهانی برای یکی از آن گزاره ها بدانیم، گزارۀ
a = ٠ ∨ ¬( a = ٠)
صادق نخواهد بود. به شیوه ای مشابه می توان نشان داد که هیچ ترتیب کاملی روی اعداد حقیقی وجود
ندارد. آنالیز شهودگرایانه به نتایجی منجر می شود که با ریاضیات کلاسیک ناسازگار هستند؛ و قربانی
می کنند؛ مانند اینکه هر تابع تام روی بازۀ یکه (به طور شهودی تعریف شده)، به طور یکنواخت پیوسته است
.[١٢ ،١١]
شهودگرایی یک پروژۀ تمام شده نیست، زیرا کار ساخت ریاضیات پایانی ندارد. در واقع هنوز برخی
ریاضیدانان به توسعۀ هر چه بیشترِ جبر، آنالیز ریاضی و توپولوژی از دیدگاه شهودگرایانه و به طور کلی تر
ساختگرایانه، مشغول هستند. هیچ کس نمی تواند تضمین کند که ریاضیات معاصر حاوی تناقض نیست
و روش های آن در بررسی ساختارهای نامتناهی، بی عیب ونقص هستند اما کاربردهای ریاضیات، زیبایی
و هماهنگی آن باعث می شود که ریاضیدانان از آن دست برندارند. البته اگر لازم باشد، بعضی قسمت ها
را قربانی می کنند، مانند رها کردنِ تصور شهودی از مجموعه ها و جانشین کردنِ شکل محدودی از آن در
رهیافت اصل موضوعی. این، فرآیندی است که پایانی ندارد.
۴ .صورتگرایی
توجه به مبانی ریاضیات در اثر هیلبرت دربارۀ مبانی هندسه آشکار است. هیلبرت در فصل اول این
کتاب به صورت بندیِ اصول هندسه می پردازد و فصل دوم آن به سازگاری و استقلال آنها اختصاص دارد.
به طور کلی، هیلبرت بسیار تحت تأثیر تحولات هندسه در دوران پیش از خود و به ویژه ظهور هندسه های
نااقلیدسی بوده است [٧ .[ضمناً هیلبرت از نقص اصلی روش فرگه در تحویل حساب به منطق آگاه بود. از
١Christian Goldbach
چرا فلسفه های سه گانۀ مشهور ریاضی مهم هستند؟ ٩
سوی دیگر، او با محدودیت هایی که شهودگرایی بر ریاضیات تحمیل می کرد، موافق نبود. هیلبرت برنامه ای
دیگر برای مستحکم کردن مبانی ریاضیات در سر داشت.
فلسفۀ ریاضی هیلبرت را صورتگرایی می نامند اما باید توجه کنیم که فلسفۀ او با صورتگرایی پیش از
او متفاوت است. صورتگرایان پیش از هیلبرت، ریاضیات را صرفاً نوعی بازی دقیق اما بی معنی چون
شطرنج می دانستند. اما فلسفۀ ریاضی هیلبرت دیدگاهی هوشمندانه است که عناصری از فلسفه های ریاضی
دیگر را در هم تنیده است. از یک نظر، این دیدگاهی بسیار طبیعی و نزدیک به عقل سلیم در ریاضیات
است. به باور هیلبرت، ریاضیات بخشی واقعی دارد که همان بخش متشکل از اشیاء و ساختارهای متناهی
آن است. ریاضیدانان این اشیاء را مستقیماً درمی یابند همان طور که کانت و شهودگرایان می اندیشیدند.
اما ریاضیات فقط همین نیست. بخشی فرامتناهی نیز دارد که هیلبرت آن را بخش ایدآل ریاضیات نامیده
است. به خلافِ نظر منطق گرایان، بخش متناهی ریاضیات که شامل ویژگی های مقدماتی اعداد طبیعی
است، به طور مستقیم توسط ذهن انسان و شهود او قابل درک است و نیازی به تحویل آن به منطق نیست.
این را می توان مانند نظر کانت متکی بر شهود زمانی انسان (یک آن و آنِ بعد) دانست. این موضع به
نظر شهودگرایان در این زمینه نیز نزدیک است. البته می توان تلقی افلاطونی نیز از آن داشت. اما بخش
فرامتناهی، دیگر واقعی نیست. آیا این به اعتقاد عموم ریاضیدانان نزدیک نیست؟ اینکه اشیای ریاضیات
مقدماتی به نحوی موجود باشند، بسیار به شهود عادی ریاضیدانان نزدیک است اما پذیرفتن این فرض در
مورد مثلا فضاهای برداری نامتناهی-بعد و یا اشیای عجیب تر دیگری که همه روزه در ریاضیات معرفی
می شوند، چندان آسان نیست.
پس چگونه می توان این اشیای فرامتناهی را توجیه کرد؟ در این مورد، هیلبرت مانند صورتگرایان
می اندیشید و معتقد بود که اشیای نامتناهی را می توان نمادهایی صرف در نظر گرفت. اصول موضوع،
ویژگی های این نمادها و نحوۀ کار با آنها را توصیف می کنند. البته این را می توان تنها ترفندی برای
یافتن پایه ای مناسب برای بنای ریاضیات تلقی کرد. حتی یک افلاطون گرا ممکن است چنین رهیافتی
را سودمند بداند. اما این اصول چه ویژگی هایی باید داشته باشند؟ در وهلۀ اول، افزودنِ این اصول باید
توسیعی محافظه کارانه از ریاضیات متناهی بسازد، یعنی هیچ ویژگی جدیدی از اشیای متناهی و واقعی
ریاضیات را نتوان ثابت کرد. همچنین می بایست سازگار باشند. توجه کنید که این لازمۀ صورتگرایی است،
زیرا اصول همانند قبل، دیگر بیان کنندۀ ویژگی های اشیایی از پیش موجود نیستند. چه وقت می توانیم وجود
شیئی فرامتناهی را بپذیریم؟ این اشیای ریاضی وجود دارند هرگاه مجموعۀ اصولی که ویژگی های آنها را
بیان می کنند، سازگار باشند. سازگاری، وجود را نتیجه می دهد. این مغایر با دیدگاه فرگه است که بنابر آن،
سازگاریِ اصول به سبب صادق بودنِ آنها است؛ یعنی هماهنگ بودنِ آنها با ویژگی های اشیایی که از قبل
وجود دارند.
١٠ مرتضی منیری
اما سازگاریِ یک دستگاه ریاضی را چگونه می توان ثابت کرد؟ یک راه، ارائۀ مدل است؛ یعنی
نمونه ای مشخص از ساختاری که اصول در آن برقرارند. برای مثال، اصل تعویض پذیری در نظریۀ گروه ها
با دیگر اصول سازگار است، زیرا گروهی تعویض پذیر مانند گروه اعداد صحیح وجود دارد. البته خودِ فرض
وجودِ مجموعۀ اعداد صحیح باید از پیش به نحوی توجیه شده باشد. برهان های متداول برای سازگاری در
ریاضیات، به اصطلاح نسبی هستند. اما اگر سازگاریِ کل ریاضیات، شامل بخش ایدآل آن، را بخواهیم
ثابت کنیم چه باید بکنیم؟ دیگر چیزی باقی نمی ماند که بخواهیم به آن متوسل شویم. آیا باید فراتر از
ریاضیات بیندیشیم و از اصولی کلی در فلسفه استفاده کنیم؟ پاسخ هیلبرت منفی است. او می خواست
سازگاری ریاضیات را که جزئی از به اصطلاح فراریاضیات است، در خودِ ریاضیات ثابت کند. اما چگونه
و کجا؟ پاسخ هیلبرت این بود که در بخش متناهی و بی نیاز به توجیه و با استفاده از اثبات های گام به گام و
خالی از شهود منطقی. این کاملا قابل فهم است و اگر امکان داشت، چقدر خوب بود! اما افسوس! گودل
نشان داد که نمی شود.
قضیه های ناتمامیت گودل در طی حدود هشتاد سال که از عمر آنها می گذرد، به شدت مورد توجه بوده
و بررسی شده اند. به طور خلاصه، قضیۀ اول ناتمامیت گودل می گوید که هر نظریۀ مرتبۀ اول حسابی به اندازۀ
کافی قوی (قادر به صوری سازیِ مقدمات حسابی لازم) T که سازگار باشد و اصولش بازگشتی باشند، تمام
نیست، یعنی جمله ای مانند A در آن موجود است که T نه A را ثابت می کند و نه A ¬را. قضیۀ دوم
ناتمامیت گودل بیان می کند که این T نمی تواند سازگاری خود را اثبات کند. در اینجا منظور از سازگاریِ
T جمله ای در زبان مرتبۀ اول T است که صوری شدۀ مفهوم سازگاری T است. حساب مرتبۀ اول پئانو
یکی از آشنا ترین دستگاه های مرتبۀ اول حسابی است و قضیه های ناتمامیت گودل معمولا برای آن ذکر
می شوند. در ادامه، به بیان خلاصۀ برهان قضیه های ناتمامیت گودل می پردازیم که البته بدون گسستگی در
مطلب، می توان از خواندن آن صرف نظر کرد.
گودل با دستگاهی مرتبۀ اول از حساب که همان حساب مرتبۀ اول پئانو PA است، کار را آغاز کرد.
ابتدا قضیه ای مشهور به لم نقطۀ ثابت را ثابت کرد. بنابر این قضیه، به ازای هر فرمول حسابی مانند (x(A
جمله ای مانند σ) نقطۀ ثابت A (موجود است به طوری که ((σ(g(A و σ در PA هم ارز هستند. در اینجا
(σ(g عبارت است از عدد گودل σ که همان کد این جمله بر اساس کدگذاریِ گودل برای فرمول های حسابی
است و(σ(g ترم نظیر(σ(g است. با استفاده از همین کدگذاری، گودل فرمولی به شکل (x(prov ساخت
که اثبات پذیریِ جملۀ با کد x در PA را بیان می کند. سپس نشان داد که با فرض سازگاریِ PA ،نقطۀ ثابت
نقیض این فرمول، در PA اثبا ت ناپذیر است. این نقطۀ ثابت بیان می کند که «من در PA اثبات ناپذیرم»
و نقیض آن نیز در PA اثبا ت ناپذیر است. پس جمله ای مانند τ در PA وجود دارد که هم خودش و هم
نقیضش اثبات ناپذیر است. این قضیۀ اول ناتمامیت گودل است. به کمک فرمول اثبات پذیریِ فوق، گودل
چرا فلسفه های سه گانۀ مشهور ریاضی مهم هستند؟ ١١
سازگاریِ PA را به شکل یک جملۀ مرتبۀ اول بیان کرد: (PA(Con) اثبات ناپذیریِ ٠=١ .(در ادامه، با
صوری کردنِ اثبات قضیۀ اول در PA ،نشان داد که در PA از (PA(Con جملۀ τ نتیجه می شود. از
این می توان نتیجه گرفت که با فرض سازگاری، PA نمی تواند (PA(Con را ثابت کند. این، قضیۀ دوم
ناتمامیت گودل است.
به کمک قضیۀ اول ناتمامیت گودل و قضیۀ موسوم به MRDP در نظریۀ منطقی اعداد، نتیجه می شود
که به ازای هر دستگاه صوری حسابی معقول مانند PA ،یک معادلۀ سیاله وجود دارد که جواب ندارد ولی
PA نمی تواند نداشتن جواب را ثابت کند. این، مسئله ای حل ناپذیر با ماهیت ریاضی فراهم می کند.
یادآوری می کنیم که قضیۀ MRDP گام اصلی در حل مسئلۀ دهم هیلبرت دربارۀ وجود یا عدم الگوریتمی
برای تشخیص جواب داشتن یا جواب نداشتن هر معادلۀ سیالۀ داده شده، بوده است: چنین الگوریتمی وجود
ندارد. برای توضیح این نتیجه، متذکر می شویم که بنابر MRDP ،هر فرمول مرتبۀ اول محدود حسابی
(یعنی فرمولی حسابی که همۀ سورهای آن محدود باشند) در PA هم ارز با یک فرمول وجودی است و با
توجه به ویژگی های زبان حسابی، این خود هم ارز وجود جواب یک معادلۀ سیاله است.
اکنون طیف وسیعی از جمله های مستقل از PA در دسترس است [۵ .[اینها عمدتاً شکل های مرتبۀ
اول برخی مسائل ترکیبیاتی از قبیل قضیۀ رمزی١ هستند. برای مطالعۀ بیشتر دربارۀ نتایج ریاضی و
فلسفی قضیه های گودل، مراجع [۵ [و [١٣ [را بخوانید. مرجع [٨ [شامل اثباتی کامل از این قضیه ها
است و به علاوه مرجعی برای بخش نظریۀ برهان در منطق ریاضی هم به شمار می آید. نظریۀ برهان یکی از
محصولات برنامۀ هیلبرت است.
اثبات گودل به گونه ای است که می توان آن را برای هر دستگاه حسابی مناسب دیگر یا نظریۀ مجموعه ها
نیز تکرار کرد. این محدودیت ذاتی برای اثبات های گام به گام منطقی است. به این ترتیب، برنامۀ هیلبرت
در اثبات سازگاریِ کل ریاضیات در بخش مطمئن و متناهی آن ناکام ماند: اثبات سازگاری خودِ PA در
PA هم ممکن نیست چه رسد به اثبات سازگاریِ کل ریاضیات. البته هرچند اثبات های سازگاریِ مطلق
وجود ندارند اما اثبات های نسبی وجود دارند. برای مثال، سازگاری ZF به علاوۀ اصل انتخاب را می توان
با فرض سازگاریِ خود ZF ثابت کرد. این کاری است که گودل انجام داد. این اثبات با روش های متناهی
مورد نظر هیلبرت قابل انجام است [٨ .[نتایجی از این گونه، جایگاهی مهم در نظریۀ امروزی مجموعه ها
دارند. از سوی دیگر، اگر پا را کمی فراتر از روش های متناهی مورد نظر هیلبرت بگذاریم، می توان سازگاریِ
مطلق حساب را نیز ثابت کرد. این کاری بود که مثلا گنتسن٢ انجام داد. در این اثبات، او از استقرای
ω .هرچند
فراتر از استقرای معمولی استفاده کرد: استقرا تا ϵ٠ ،یعنی اولین اردینال α به طوری که α = α
١
Frank P. Ramsey ٢Gerhard Gentzen
١٢ مرتضی منیری
این اثبات راضی کننده نیست، سرآغاز بخشی مهم از نظریۀ برهان به نام تحلیل اردینالی١ شده است. در
این بخش به هر نظریه، اردینالی نسبت داده می شود که به نوعی قدرت اثباتی آن نظریه را نشان می دهد.
ناگفته نماند که یکی از دستاوردهای جانبی گودل، معرفی تابع های بازگشتی اولیه بود و با این کار
و همچنین بررسی نمایش پذیری آنها در PA ،خود را در زمرۀ پیشگامان نظریۀ علوم رایانه قرار داد که
سرانجام، منجر به ساخت رایانه های امروزی گردید. دربارۀ تاریخچۀ این موضوع، مرجع [٣ [خواندنی
است.
وضعیت برنامۀ هیلبرت و قضیه های گودل در مبانی ریاضیات را می توان با قضیۀ گالوا در خودِ
ریاضیات مقایسه کرد. قضیۀ گالوا در زمینۀ حل ناپذیری معادله های چند جمله ای از درجۀ حداقل ۵ به وسیلۀ
رادیکال ها، دلیلی بر بیهوده بودن تلاش های قبلی او و دیگران در زمینۀ حل آنها نیست و به نوعی، دنبالۀ
طبیعی آنها است. این روش ها بعداً تعمیم داده شد و در دیگر قسمت های ریاضیات به کار رفت.
مراجع
[۱] Brown, J. R., Philosophy of Mathematics: A Contemporary Introduction to the World of Proofs
and Pictures, Routledge, New York, 2008.
[۲] Carter, J., Structuralism as a philosophy of mathematical practice, Synthese, 163 (2008), 119–
۱۳۱٫
[۳] Davis, M., The Universal Computer: The Road from Leibniz to Turing, W. W. Norton & Company, New York, 2000.
[۴] Detlefsen, M., Brouwerian intuitionism, Mind, New Series, 99 (1990), 501–۵۳۴٫
[۵] Feferman, S., The impact of Gödel’s incompleteness theorems on mathematics, Notices of the
American Mathematical Society, 53 (2006), 434–۴۳۹٫
[۶] George, A., Velleman, D., Philosophies of Mathematics, BlackWell Publishing, Oxford, 2002.
[۷] Gillies, D., German philosophy of mathematics from Gauss to Hilbert, Royal Institute of Philosophy Supplements, 44 (1999), 167–۱۹۲٫
[۸] Girard, J.-Y., Proof Theory and Logical Complexity, Bibliopolis, Napoli, 1987.
[۹] Reck, E. H., Frege, Dedekind, and the origins of logicism, History and Philosophy of Logic, 34
(۲۰۱۳), ۲۴۲–۲۶۵٫
[۱۰] Tait, W. W., Frege versus Cantor and Dedekind: On the concept of number:
http://home.uchicago.edu/~wwtx/frege.cantor.dedekind.pdf.
[۱۱] Trolestra, A. S., van Dalen, D., Constructivism in Mathematics (vols. 1, 2), Elsevier, Amsterdam, 1988.
١
ordinal analysis
چرا فلسفه های سه گانۀ مشهور ریاضی مهم هستند؟ ١٣
[۱۲] Moschovakis, J. R., Vafeiadou, G., Intuitionistic mathematics and logic:
http://www.math.ucla.edu/~joan/gvfjrmeng.pdf
[۱۳] Raatikainen, Panu, Gödel’s incompleteness theorems, in Edward N. Zalta (ed.), The Stanford
Encyclopedia of Philosophy:
https://plato.stanford.edu/archives/spr2015/entries/
goedel-incompleteness.
مرتضی منیری: دانشگاه شهید بهشتی، دانشکدۀ علوم ریاضی
http://facultymembers.sbu.ac.ir/mortezamoniri/ :تارنما
m-moniri@sbu.ac.ir :رایانامه

دیدگاهتان را بنویسید