بازدید: 1

مجله علوم آمار ی، بهار و تابستان ١٣٩٧
٢٠٨ – ١٨٩ ص، ١ شماره، ١٢ جلد
DOI: 10.29252/jss.12.1.189
پیش گویی فضایی با مدل های اتورگرسیو یک طرفه در فضای دو بعدی
آزاده مجیری١ ،یداله واقعی١ ،حمیدرضا نیلی ثانی١ ،غلامرضا محتشمی برزادران٢
١ گروه آمار، دانشگاه بیرجند
٢ گروه آمار، دانشگاه فردوسی مشهد
١٣٩٧/١/٢۶ :بازنگری آخرین تاریخ ١٣٩۶/٣/۵ :دریافت تاریخ
چکیده: یکی از موضوعات مهم در تحلیل داده های فضایی، پیش گویی مقدار نامعلوم کمیت مورد مطالعه
در موقعیت های دلخواه بر اساس یکی از مدل های فضایی مانند اتورگرسیو فضایی یک طرفه، اتورگرسیو
شرطی و میانگین متحرک است. در این مقاله ابتدا پارامترهای مدل (١, ٢(SAR را به روش ماکسیمم
درستنمایی برآورد کرده سپس فرمول هایی برای پیش گویی درون قلمرو داده ها (درون یابی) و خارج قلمرو
داده ها (برون یابی) به دست آورده می شود. سپس کاربرد و کارایی روش های ارائه شده در قالب یک مثال
مربوط به پردازش تصویر نشان داده خواهد شد.
واژه های کلیدی: داده های فضایی، مدل اتورگرسیو فضایی یک طرفه، برآورد، پیش گویی، درون یابی،
برون یابی.
١ مقدمه
به داده های وابسته ای که از موقعیت های فضایی مختلف به دست می آیند، داده های فضایی گفته می شوند. در
مورد داده های فضایی علاوه بر مقدار متغیر مورد نظر، مختصات فضایی ثبت و در تحلیل های آماری مورد
استفاده قرار می گیرد. موقعیت فضایی مشاهدات ممکن است نقطه ای یا ناحیه ای، منظم یا نامنظم باشد.
داده های مشبکه ای نوع خاصی از داده های فضایی هستند که موقعیت فضایی داده ها به صورت ناحیه ای
است، این مکان ها می تواند منظم یا نامنظم باشند. اگر مکا ن ها هم شکل و هم اندازه باشند ناحیه ها منظم و
آدرس الکترونیکی نویسنده مسئول مقاله: یداله واقعی، ir.ac.birjand@ywaghei
کد موضوع بندی ریاضی (٢٠١٠ :(۶۲M30 ،۹۱B72
١٩٠ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . پیش گویی فضایی با مدل های اتورگرسیو
در غیر این صورت نامنظم اند. داده های حاصل از اسکن یک تصویر و داده های جمع آوری شده از آزمایشات
مزرعه کشاورزی روی کرت های منظم نمونه ای از داده های مشبکه ای منظم و تعداد افراد مبتلا به یک نوع
سرطان در شهرستان های مختلف کشور مثالی برای داده های مشبکه ای نامنظم می باشند (محمدزاده، ١٣٩۴.(
مدل سازی فضایی داده های مشبکه ای در بسیاری از مسائل علمی کاربرد دارند. برای مثال اغلب
داده های جمع آوری شده حاصل از پردازش تصویر، اپیدمیولوژی، نجوم، علوم زمین، علوم زراعت، جنگل داری
و علوم خاک، مشبکه ای می باشند. نمونه ای از مطالعات بر روی داده های مشبکه ای فضایی عبارتند از بسج
(١٩٧۴ ،(بارتلت (١٩٧٨ ،(کرسی (١٩٩٣ ،(باسو و راینسل (١٩٩٣ ،١٩٩۴ (و گرایو و لو (٢٠٠۴.(
معمولا تعمیم مدل های سری زمانی از فضای یک بعدی به فضای دو بعدی برای مدل سازی داده های
مشبکه ای استفاده می شود. اولین بار مدل اتورگرسیو همزمان١ توسط ویتل ( ١٩۵۴ (معرفی گردید. باستوس
و همکاران (١٩٨۴ (و باسو و راینسل (١٩٩٣ (خواص مدل های SAR فضایی یک طرفه مرتبه اول را
به دست آوردند. مارتین (١٩٧٩ ،١٩٩۶ ،(کولیس و گلیسون (١٩٩١ (و باسوا و همکاران (١٩٩٢ (مدل های
ARMA فضایی تفکیک پذیر (ضربی) معرفی کردند.
در حالت کلی فرض کنید داده های مشبکه ای منظم در m ردیف افقی و n ردیف عمودی قرار گرفته
باشند. متغیرها را به صورت {n, . . . , ١ = j, m, . . . , ١ = i ; Zij {نمایش می دهیم. i شماره
ردیف افقی و j شماره ردیف عمودی مربوط به موقعیت متغیر را نشان می دهند که نقش طول و عرض
نقاط را در فضای دو بعدی بازی می کنند. نسبت به هر نقطه مثل (j, i (مشاهدات را می توان مانند محور
مختصات به چهار ربع تقسیم نمود.
مدل اتورگرسیو یک طرفه مرتبه اول ((١, ١(AR (در فضای دو بعدی (بر روی سطح) به صورت
Zi,j = α١,٠Zi−١,j + α٠,١Zi,j−١ + α١,١Zi−١,j−١ + εi,j ; i, j = ٠, ±١, ±٢, …, (١)
σ هستند
تعریف می شود، که در آن j,εiها متغیرهای تصادفی مستقل با میانگین صفر و واریانس متناهی ٢
k < i برای E[Zk,ℓεi,j ] = ٠ و E[Zi,jεi,j ] = σ
٢
(گنتون و کول، ٢٠٠٨ .(همچنین فرض می شود
یا j < ℓ است.
در سری زمانی مفاهیم گذشته و آینده به وضوح مشخص است اما برای فرآیندهای فضایی چنین
مفاهیمی به طور طبیعی وجود ندارد. برای رفع این مشکل مدل (١ (را برای ٠ ≥ j, i در نظر گرفته و
۱
Simultaneous Autoregressive
آزاده مجیری و همکاران . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ١٩١
((١, ١(QAR (نامیده است. ولی
تجستیم (١٩٧٨ ،١٩٨٣ (آن را، مدل اتورگرسیو ربع صفحه مرتبه اول٢
سایر نویسندگان مانند باتاچاریا (١٩٩٧ (و باران و پاپ (٢٠١٢ (مدل (١ (را مدل اتورگرسیو فضایی٣
یک طرفه مرتبه اول ((١, ١(SAR (نامیده اند. مارتین (١٩٧٩ (این مدل را با ١,٠α٠,α١ = −١,α١ مدل
اتورگرسیو یک طرفه مرتبه اول تفکیک پذیر ((١(AR) ∗ ١(AR (نامید.
مدل های اتورگرسیو یک طرفه برای وقایعی که بر روی یک سطح جهت دار اتفاق افتاده باشند از جمله
آلاینده های زیست محیطی منتقل شده مفید هستند. همچنین مدل های SAR از مدل های اتورگرسیو
همزمان (ویتل، ١٩۵۴ (و مدل های اتورگرسیو شرطی ۴ CAR) بارتلت، ١٩٧١؛ بسج، ١٩٧۴ (ساده تر
هستند (گنتون و کول، ٢٠٠٨.(
یکی از مهم ترین مسائل در مورد مدل های اتورگرسیو فضایی برآورد پارامترهای مدل است. اکثر
مطالعات بر روی برآورد پارامترهای این مدل ها با فرض نرمال بودن j,εi است (گریفیت، ٢٠٠۴؛ یائو
و براکول، ٢٠٠۶؛ داویدوف و پائولاسکاس، ٢٠٠٨ .(برای برآورد پارامترهای مدل های اتورگرسیو فضایی
۵ استفاده می شود. تجستیم
معمولا از سه روش ماکسیمم درستنمایی، کمترین توان های دوم یا یول واکر
(١٩٧٨ ،(باسو و راینسل (١٩٩٢ (و آوانگ و شیتان (٢٠٠۶ (برآورد پارامترهای مدل اتورگرسیو فضایی
مرتبه اول را به روش یول واکر محاسبه کردند. پارامترهای مدل های اتورگرسیو فضایی مرتبه اول توسط
اُرد (١٩٧۵ (و هاینینگ (١٩٧٨ (به روش ماکسیمم درستنمایی و کمترین توان های دوم خطا برآورد گردید.
گوریانوف (٢٠١١ (برآوردهایی با کمترین مقدار قدر مطلق۶ را برای مدل اتورگرسیو فضایی مرتبه اول ارائه
داد.
پس از برآورد پارامترهای مدل مسئله مهم در آمار فضایی، پیش گویی مقدار نامعلوم میدان تصادفی در
موقعیت مشخص (s, k (بر اساس سایر مشاهدات است. به طور معمول با فرض مانایی میدان تصادفی
پیش گویی بهینه از می نیمم کردن میانگین توان دوم خطای پیش گویی به دست آورده می شود که همان میانگین
Z =
{
Zi,j ; i = ١, . . . , m, j = ١, . . . , n, (i, j) ̸= که Zˆ
k,s = E[Zk,s | Z] شرطی
(s, k (است (کرسی، ١٩٩٣ .(اما محاسبه این پیشگو مستلزم استفاده از توزیع احتمال s,Zk به شرط
}
سایر مشاهدات است که در عمل محاسبه چنین توزیع هایی به سادگی امکان پذیر نیست مگر آن که فرض های
ساده کننده ای برای مدل در نظر گرفته شود. فرضی که به طور معمول در نظر گرفته می شود نرمال بودن
۲First-Order Quadrant-Plane Autoregressive
۳
Spatial Autoregressive
۴Conditional Autoregressive
۵Yule Walker
۶Least Modules
١٩٢ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . پیش گویی فضایی با مدل های اتورگرسیو
خطاهاست در این صورت توزیع توام s,Zkها گاوسی شده و محاسبه آن ساده تر می گردد.
در مورد پیش گویی مدل های اتورگرسیو فضایی مطالعات چندانی انجام نشده است. باسو و راینسل
(١٩٩٣ (خواص امید ریاضی شرطی مدل های (١, ١(SAR یک طرفه را بررسی کرده اند و با استفاده از کل

داده ها به جز داده مورد نظر روشی برای پیش گویی مدل (١, ١(SAR پیشنهاد داده اند. در روش آن ها s,k
Zk−١,s+١ ،Zk+١,s−١ ،Zk−١,s−١ ،Zk,s+١ ،Zk,s−١ ،Zk+١,s ،Zk−١,s ) نقطه ٨ از خطی ترکیب
و ١+s,١+Zk (در نزدیک ترین همسایگی نقطه پیش گویی است. در این مقاله نخست برآورد پارامترهای
مدل (١, ٢(SAR ،بر اساس ایده ماکسیمم درستنمایی در حالتی که میانگین نامعلوم باشد به دست آورده
و یک الگوریتم برای برآورد پارامترها ارائه می شود. سپس ایده پیش گویی باسو و راینسل (١٩٩٣ (در مدل
(١, ١(SAR را برای مدل (١, ٢(SAR تعمیم داده و در کنار آن ایده جدیدی مبتنی بر پیش گویی به کمک
مشاهدات ربع سوم صفحه ارائه می شود. به دلایلی که در ادامه خواهید دید این روش برای پیش گویی خارج
از قلمرو داده ها می تواند مفیدتر از روش باسو و راینسل باشد. در نهایت کاربرد روش های ارائه شده برای
پیش گویی در داخل و خارج قلمرو داده ها را در قالب یک مساله پردازش تصویر نشان داده و خطاهای
پیش گویی در تصویر مورد تحلیل قرار می گیرند.
٢ برآورد پارامترهای مدل اتورگرسیو فضایی
مدل اتورگرسیو فضایی یک طرفه ربع سوم ((p٢, p١(SAR (را می توان به صورت
Φ(B١, B٢)Zi,j = εi,j ; i = ١, . . . , m, j = ١, . . . , n, (٢)
∑ = (B٢, B١(Φ است. همچنین B١ و B٢ به ترتیب

k=٠


ℓ=٠
αk,ℓBk
١ Bℓ
٢
نوشت، که در آن ٠ = ٠,α٠,
Bℓ هستند. باسو و
٢Zi,j = Zi,j−ℓ و Bk
عملگرهای پسرو افقی و عمودی به صورت j,k−Zi = j,Zi ١
راینسل (١٩٩٣ (مدل (٢ (را مدل اتورگرسیو فضایی یک طرفه ربع پایین٧ نامیدند. با قرار دادن ٢ = p١
و ١ = p٢ در مدل (٢ (مدل اتورگرسیو فضایی یک طرفه مرتبه دوم، (١, ٢(SAR به دست می آید. برای
،α٢,١ = α۵ و α٢,٠ = α۴ ،α١,١ = α٣ ،α٠,١ = α٢ ،α١,٠ = α١ کنید فرض، نمادها شدن تر ساده
۷Lower Quadrant
آزاده مجیری و همکاران . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ١٩٣
در این صورت برای مدل (١, ٢(SAR داریم:
Zi,j = α١Zi−١,j + α٢Zi,j−١ + α٣Zi−١,j−١ + α۴Zi−٢,j + α۵Zi−٢,j−١ + εi,j . (٣)
به منظور برآورد پارامترها و پیش گویی، بهتر است مدل (٣ (به فرم ماتریسی بیان شود. فرض کنید برای
Z = (Z١,١, Z١,٢, . . . , Z١,n, . . . , Zm,١, Zm,٢, . . . , Zm,n)

مجموعه داده های مشبکه ای منظم،
.باشند تاییN = m × n بردارهایی ε = (ε١,١, ε١,٢, . . . , ε١,n, . . . , εm,١, εm,٢, . . . , εm,n)

و
در رابطه (٣ ،(فرض شده است که ٠ ) = j,εi(E لذا تحت پذیرش مانایی مدل می توان نتیجه گرفت
.E(Zi,j ) = ٠
و i از برخی برای شود نوشته j = ١, ٢, . . . , n و i = ١, ٢, . . . , m برای SAR(٢, ١) مدل وقتی
jها j,Zi به ٠,Zi ،j,Z٠ یا j,١−Z وابسته است که مشاهده نمی شوند به این داده ها، داده مرزی گفته می شود.
از آنجایی که این داده ها قابل مشاهده نیستند، برای سادگی در محاسبات داده های مرزی صفر در نظر گرفته
مدل). Zi,٠ = ٠; i = ١, . . . , m طور همین و Z٠,j = Z−١,j = ٠; j = ٠, . . . , n یعنی (شود می
(٣ (را برای m, . . . , ١ = i و n, . . . , ١ = j می توان به فرم ماتریسی
Z = AZ + ε → (IN − A) Z = ε, (۴)
نوشت (آوانگ و شیتان، ٢٠٠۶ ،(که در آن IN ماتریس همانی N × N ،A یک ماتریس N × N
پارامتری با عناصر صفر روی قطر اصلی است.
ماتریس پارامتری A را می توان به پنج ماتریس مجزا به صورت
A = (α١W١ + α٢W٢ + α٣W٣ + α۴W۴ + α۵W۵)
Wi ها ماتریس هایی N × N با عناصر صفر و یک به صورت
تجزیه کرد، که در آن ۵, . . . , ١ = i;
W١ = Lm⊗In, W٢ = Im⊗Ln, W٣ = Lm⊗Ln, W۴ = Km⊗In, W۵ = Km⊗Ln,
هستند. همچنین In ماتریس همانی n × n ،Ln ماتریسی n × n با عناصر یک در مکان (١ − i, i (و
صفر بقیه جاها و Km ماتریسی m × m با عناصر یک در مکان (٢ − i, i (و صفر سایر جاها می باشد.
١٩۴ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . پیش گویی فضایی با مدل های اتورگرسیو
در صورتی که µ ) = j,Zi (E ،مشابه مدل های اتورگرسیو سری زمانی مدل (٣ (به صورت
(Zi,j − µ) = α١ (Zi−١,j − µ) + α٢ (Zi,j−١ − µ) + α٣ (Zi−١,j−١ − µ)
+α۴ (Zi−٢,j − µ) + α۵ (Zi−٢,j−١ − µ) + εi,j ,
نوشته می شود. مشابه الگوی ماتریسی (۴ (با استفاده از µ به جای داده های مرزی فرم ماتریسی مدل (۵(
به صورت
(IN − A) (Z − µ۱) = ε, (۵)
است، که در آن ۱ برداری ١ × N با عناصر یک است. فرض کنید εijها متغیر های تصادفی مستقل و
Z ،(۵) رابطه از استفاده با. ε ∼ Nmn(0, σ
٢
σ٢, ٠(N باشند، در این صورت ( IN
هم توزیع با توزیع (
دارای توزیع (Γ,µ۱(Nmn با ماتریس کواریانس
Γ = Cov (Z) = (IN − A)
−١
σ
٢
IN
(
IN − A′
)−١
ماتریس) IN −A) زیرا)|، IN − A)
−١
| = ١ و| Γ|
١
٢ = (σ
٢
)
N
٢ |(IN − A)
−١
است. همچنین |
پایین مثلثی با عناصر یک روی قطر اصلی است. با فرض (A − IN = (B ،لگاریتم تابع درستنمایی
:از عبارتست α = (α١, . . . , α۵)
مدل (۵ (برای ′
ℓ(α, µ, σ٢
; z) = −
N
٢
ln (٢π) −
N
٢
ln(σ
٢
) −
١
٢σ
٢
{
(z − µ۱)
′B
′B (z − µ۱)
}
.
با صفر قرار دادن مشتق لگاریتم تابع درستنمایی نسبت به αi برای ۵, . . . , ١ = i و با فرض این که،
:داریم، باشد Si = WiY و Y = Z−µ۱
٢αiS

iSi +

j̸=i
αjS

iSj +

j̸=i
αjS

jSi = Y′Si + S

iY; i, j = ١, …, ۵ , (۶)
آزاده مجیری و همکاران . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ١٩۵
از آنجایی که جملات رابطه (۶ (اسکالر هستند، لذا این رابطه را می توان به صورت ساده تر
αiS

iSi +

j̸=i
αjS

iSj = S

iY; i, j = ١, …, ۵ , (٧)
نوشت که فرم ماتریسی آن










S

١S١ S

١S٢ S

١S٣ S

١S۴ S

١S۵
S

٢S١ S

٢S٢ S

٢S٣ S

٢S۴ S

٢S۵
S

٣S١ S

٣S٢ S

٣S٣ S

٣S۴ S٣
′S۵
S

۴S١ S

۴S٢ S

۴S٣ S

۴S۴ S

۴S۵
S

۵S١ S

۵S٢ S

۵S٣ S

۵S۴ S

۵S۵




















α١
α٢
α٣
α۴
α۵










=










S

١Y
S

٢Y
S

٣Y
S

۴Y
S

۵Y










, (٨)
است. با افراز [S۵|S۴|S٣|S٢|S١∗ = [X ،برآورد پارامتر α از رابطه
αˆ =
(
X∗

X∗
)−١
X∗
′(
Z − µˆ۱
)
. (٩)
σ ) = j,Zi (Var مشتقات تابع لگاریتم درستنمایی
٢
به دست می آید. به منظور برآورد µ ) = j,Zi (E و
σ برابر صفر قرار داده می شود، آن گاه
٢
نسبت به µ و
∂ℓ (α, µ, σ٢
; z)
∂µ = −٢۱
′B
′Bz + ٢µ۱
′B
′B1 = ٠,
⇒ µˆ =
۱
′Bˆ


۱
′Bˆ

B1ˆ
Z, (١٠)
∂ℓ (α, µ, σ٢
; z)
∂σ٢
= −
N
٢σ
٢
+
١
٢σ
۴
{
(z − µ۱)
′B
′B (z − µ۱)
}
= ٠,
⇒ ˆσ
٢ =
{
(Z − µˆ۱)
′Bˆ

Bˆ (Z − µˆ۱)
}
N
, (١١)
.Bˆ = (IN −Aˆ ) = (IN −αˆ١W١ − αˆ٢W٢ − αˆ٣W٣ − αˆ۴W۴ − αˆ۵W۵) روابط این در که
١٩۶ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . پیش گویی فضایی با مدل های اتورگرسیو
توجه شود که در روابط (٩ (و (١٠ˆ ،(α و ˆµ وابسته اند لذا برآورد پارامترها به صورت صریح و با
فرمول بسته به گونه ای که بر حسب داده ها قابل محاسبه باشند، به دست نمی آیند. برای رفع این مشکل به
عنوان برآورد اولیه µ¯ ،Z = ٠ˆµ قرار داده و بردار ۱ˆµ − Z = Y محاسبه می گردد سپس الگوریتم ١ به
کار گرفته می شود:
الگوریتم ١.
• گام ١ˆ .α با استفاده از رابطه (٩ (برآورد شود.
• گام ٢ .با استفاده از ˆα در گام ١
Bˆ = (IN − Aˆ ) = (
IN − αˆ١W١ − αˆ٢W٢ − αˆ٣W٣ − αˆ۴W۴ − αˆ۵W۵
)
محاسبه شده و ˆµ از رابطه (١٠ (برآورد گردد.
σ ˆبا استفاده از روابط (١١ (برآورد شود.
٢
• گام ٣.
.گردد محاسبه Si = WiY و Y = Z − µˆ۱ بردار. ۴ گام•
θ = (α′
, µ, σ٢
)

) maxj شود، تکرار کنید که
|θˆi−١
j −θˆi
j
|
|θˆi−١
j
|
گام های ١ تا ۴ را تا زمانی که c) <
و ٠٫٠٠١ = c مشخص کننده ماکسیمم خطای نسبی برآورد پارامترها در مرحله i است و معمولا یک عدد
کوچک اختیار می شود.
٣ پیش گویی توسط مدل (١, ٢(SAR
در سری زمانی مهم ترین هدف بعد از مدل سازی رفتار سری، پیش گویی آینده سری (نقاط بیرون قلمرو
داده ها) است. گاهی برای سنجش دقت مدل یا هموارسازی داده ها مقدار متغیر را درون قلمرو داده ها
به کمک مقادیر قبل از آن پیش گویی می کنند. در تحلیل داده های مشبکه ای نیز به طور مشابه پیش گویی
معمولا برای مقادیر خارج قلمرو داده ها (که نقش مقادیر آینده را در سری زمانی دارند) انجام می شود. گاهی
به منظور ارزیابی دقت مدل سازی و پیش گویی یا در پردازش تصویر به جهت بازسازی تصویر، پیش گویی
در قلمرو داده ها نیز انجام می شود، یعنی همه یا برخی از داده هایی که درون مشبکه قرار دارند پیش گویی
می گردند. در پیش گویی درون قلمرو داده ها (درونیابی) بسته به این که از کل داده ها یا از داده های ربع سوم
آزاده مجیری و همکاران . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ١٩٧
استفاده شود به دو صورت می توان پیش گویی را انجام داد. در این بخش حالت های مختلف پیش گویی مورد
بررسی قرار می گیرد.
٣ .١ پیش گویی متغیر در قلمرو داده ها
در بحث پیش گویی متغیر در قلمرو داده ها دو ایده مد نظر است. اولین ایده مربوط به باسو و راینسل
(١٩٩٣ (است. آن ها با استفاده از مدل (١, ١(SAR و کل داده ها به جز داده مورد نظر، پیش گویی s,Zk
را به صورت

k,s =
١
١+α
٢
١+α
٢
٢+α
٢
٣
(
(α١ − α٢α٣) (Zk−١,s + Zk+١,s) + (α٢ − α١α٣)
(Zk,s−١ + Zk,s+١) + α٣ (Zk−١,s−١ + Zk+١,s+١) − α١α٢ (Zk−١,s+١ + Zk+١,s−١)
)
,
ˆZ ترکیب خطی از ٨ مشاهده در نزدیک ترین همسایگی
معرفی کردند. همان طور که ملاحظه می شود s,k
نقطه پیش گویی است.
الف- روش اول: پیش گویی بر اساس کل مشاهدات به جز مشاهده مورد پیش گویی
با توجه به فرضیاتی که در بخش قبل برای j,εi در نظر گرفته شد تابع چگالی توام Z بر اساس مدل (۴(
به صورت
f (z; α, σ٢
) = (٢πσ٢
)
− N
٢ exp {

١
٢σ٢
(
z

(IN − A)

(IN − A) z
)}
= (٢πσ٢
)
− N
٢ exp {

١
٢σ٢ ε
′ε
}
,
(١٢)
است. با فرض مانایی میدان تصادفی پیش گویی بهینه مقدار نامعلوم میدان تصادفی در موقعیت مشخص
E[Zk,s −Zˆ
k,s]
٢
(s, k (بر اساس سایر مشاهدات از می نیمم کردن میانگین توان دوم خطای پیش گویی،
ˆZ به دست می آید، که در آن
نسبت به s,k

k,s = E[
Zk,s | Zi,j ; i = ١, ٢, . . . , m, j = ١, ٢, . . . , n, (i, j) ̸= (k, s)
]
.
ˆZ با ماکسیمم کردن تابع چگالی توام داده ها نسبت
از طرفی با توجه به خواص توزیع نرمال چندمتغیره s,k
به s,Zk ،به دست می آید. همچنین ماکسیمم کردن تابع چگالی توام (١٢ (معادل می نیمم کردن مجموع
١٩٨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . پیش گویی فضایی با مدل های اتورگرسیو
ε است، که j,εi در رابطه (٣ (تعریف شده است. پس از
′ε =
∑m
i=١
∑n
j=١
ε
٢
توان های دوم خطاها یعنی j,i
بازنویسی این عبارت و با نوشتن جملاتی که به s,Zk وابسته هستند، داریم:
∑m
i=١
∑n
j=١
ε
٢
i,j = ε
٢
١,١ + · · · + ε
٢
k,s + ε
٢
k+١,s + ε
٢
k,s+١ + ε
٢
k+١,s+١

٢
k+٢,s + ε
٢
k+٢,s+١ + · · · + ε
٢
m,n. (١٣)
مشتق رابطه (١٣ (نسبت به s,zk را می توان به صورت

∑m
i=١
∑n
j=١
ε
٢
i,j
∂zk,s
= ٢(
∂εk,s
∂zk,s
εk,s +
∂εk+١,s
∂zk,s
εk+١,s +
∂εk,s+١
∂zk,s
εk,s+١
+
∂εk+١,s+١
∂zk,s
εk+١,s+١ +
∂εk+٢,s
∂zk,s
εk+٢,s +
∂εk+٢,s+١
∂zk,s
εk+٢,s+١) = ٠,
(١۴)
نوشت. با توجه به این که
εk,s = Zk,s − α١Zk−١,s − α٢Zk,s−١ − α٣Zk−١,s−١ − α۴Zk−٢,s + α۵Zk−٢,s−١,
داریم:
εk,s − α١εk+١,s − α٢εk,s+١ − α٣εk+١,s+١ − α۴εk+٢,s − α۵εk+٢,s+١ = ٠. (١۵)
B به ترتیب عملگرهای پیشرو افقی و عمودی
−١
٢
B و
−١
١
مشابه تعریف عملگرهای پسرو در بخش ٢ ،اگر
B بوده و
−١
٢ Zi,j = Zi,j+١ ،B
−١
١ Zi,j = Zi+١,j صورت به
Φ(B
−١
١
, B−١
٢
) = (١ − α١B
−١
١ − α٢B
−١
٢ − α٣B
−١
١ B
−١
٢ − α۴B
−٢
١ − α۵B
−٢
١ B
−١
٢
),
B(Φ نوشت که با جای گذاری
−١
١
, B−١
٢
باشد. آن گاه رابطه (١۵ (را می توان به صورت ساده تر ٠ = s,εk)
:داریم εk,s = Φ(B١, B٢)Zk,s
Φ(B
−١
١
, B−١
٢
)Φ(B١, B٢)Zk,s = ٠. (١۶)
آزاده مجیری و همکاران . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ١٩٩
بالاخره بعد از یک سری عملیات جبری و ساده کردن، پیش گویی s,Zk که ترکیب خطی از ١۴ مشاهده
صورت به s = ٢, . . . , n − ١ و k = ٣, . . . , m − ٢ برای است اطراف

k,s =
١
١ + α
٢
١ + α
٢
٢ + α
٢
٣ + α
٢
۴ + α
٢
۵
(
(α١ − α١α۴ − α٢α٣ − α٣α۵)
(Zk−١,s + Zk+١,s) + (α٢ − α١α٣ − α۴α۵) (Zk,s−١ + Zk,s+١)
− (α١α٢ + α٣α۴) (Zk−١,s+١ + Zk+١,s−١) + (α٣ − α١α۵) (١٧)
(Zk−١,s−١ + Zk+١,s+١) + (α۴ − α٢α۵) (Zk−٢,s + Zk+٢,s)
−α٢α۴ (Zk−٢,s+١ + Zk+٢,s−١) + α۵ (Zk−٢,s−١ + Zk+٢,s+١)
)
,
به دست می آید. همان طور که ملاحظه می شود علاوه بر مشاهدات ربع سوم (s,١−Zk ،١−s,Zk ،١−s,١−Zk
استفاده . . .) و Zk+٢,s ،Zk+١,s+١ ،Zk,s+١ ،Zk+١,s) یعنی، Zk,s دوم ربع مشاهدات از . . .) و
شده است.
ب- روش دوم: پیش گویی بر اساس مشاهدات ربع سوم
در این بخش پیش گویی مقدار متغیر در موقعیت مشخص داخل قلمرو داده ها با استفاده از میانگین
s,Zk به شرط مشاهدات واقع در ربع سوم محاسبه می شود. لذا پیش گویی مدل (٣ (بر اساس چنین روشی
صورت به s = ٢, . . . , n و k = ٣, . . . , m برای

k,s = E[
Zk,s|Zi,j = zi,j ; i = ١, . . . , k, j = ١, . . . , s, (i, j) ̸= (k, s)
]
= α١zk−١,s + α٢zk,s−١ + α٣zk−١,s−١ + α۴zk−٢,s + α۵zk−٢,s−١, (١٨)
.E
[
εk,s | Zi,j = zi,j ; i = ١, . . . , k, j = ١, . . . , s, (i, j) ̸= (k, s)
]
است، زیرا ٠=
Z

لازم به ذکر است که اگر µ ) = j,Zi(E ،آن گاه کافی است در پیش گویی ها همه جا از µ − j,Zi = j,i
به جای j,Zi استفاده شود.
٣ .٢ پیش گویی درخارج قلمرو داده ها
همان طور که در سری زمانی برای پیش گویی مقدار سری برای k واحد زمانی بعد از آخرین مشاهده، از کل
مشاهدات سری زمانی استفاده می شود در این جا نیز برای پیش گویی متغیر در خارج قلمرو داده ها از کل
٢٠٠ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . پیش گویی فضایی با مدل های اتورگرسیو
Z = (Z١,١, Z١,٢, …, Z١,n, Z٢,١, Z٢,٢, …, Z٢,n, …, Zm,١, Zm,٢, …, Zm,n)
مشاهدات، یعنی ′
استفاده می شود. برای پیش گویی s,Zk) برای m > k یا n > s (از [z = Z | s,Zk[E استفاده می شود.
نخست نحوه پیش گویی نقاط واقع در ناحیه A١ و سپس نقاط واقع در ناحیه A٢ در شکل ١ مورد بررسی
قرار می گیرد. چنان چه همانند قبل مشاهدات مرزی برابر صفر قرار داده شوند، آن گاه
شکل ١ .نواحی پیش گویی خارج قلمرو داده ها
Zˆm+١,١ = E[
α١Zm,١ + α٢Zm+١,٠ + α٣Zm,٠ + α۴Zm−١,١
+ α۵Zm−١,٠ + εm+١,١|Z = z
]
(١٩)
= α١zm,١ + α۴zm−١,١.
نتیجه می شود. برای محاسبه پیش گویی اولین نوار عمودی به صورت
Zˆm+١,s = E[
α١Zm,s + α٢Zm+١,s−١ + α٣Zm,s−١ + α۴Zm−١,s
+ α۵Zm−١,s−١ + εm+١,s|Z = z
]
(٢٠)
= α١zm,s + α٢E
[
Zm+١,s−١|Z = z
]
+ α٣zm,s−١ + α۴zm−١,s
+ α۵zm−١,s−١,
آزاده مجیری و همکاران . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ٢٠١
]E = ١−s,١+mˆZ با استفاده از رابطه بازگشتی به صورت
Zm+١,s−١ | Z = z
]
عمل می شود. مقدار
Zˆm+١,s−١ = E[
α١Zm,s−١ + α٢Zm+١,s−٢ + α٣Zm,s−٢ + α۴Zm−١,s−١
+α۵Zm−١,s−٢ + εm+١,s−١|Z = z
]
(٢١)
= α١
(
zm,s−١ + α٢zm,s−٢ + … + α
s−٣
٢
zm,٢
)
+ α
s−٢
٢ E
[
Zm+١,١|Z = z
]
+α٣
(
zm,s−٢ + α٢zm,s−٣ + … + α
s−٣
٢
zm,١
)
+ α۴
(
zm−١,s−١ + α٢zm−١,s−٢ + … + α
s−٣
٢
zm−١,٢
)
+α۵
(
zm−١,s−٢ + α٢zm−١,s−٣ + … + α
s−٣
٢
zm−١,١
)
,
به دست می آید. با جای گذاری رابطه (١٩ (در رابطه (٢١ (و رابطه (٢١ (در رابطه (٢٠ (پیش گویی نوار
عمودی اول، اولین ستون داده های ناحیه A١ در شکل ١ برای n, . . . , ٢ = s حاصل می شود:
Zˆm+١,s = α١(zm,s + α٢zm,s−١ + α
٢
٢
zm,s−٢ + · · · + α
s−١
٢
zm,١)
+α٣(zm,s−١ + α٢zm,s−٢ + α
٢
٢
zm,s−٣ + · · · + α
s−٢
٢
zm,١) (٢٢)
+α۴(zm−١,s + α٢zm−١,s−١ + α
٢
٢
zm−١,s−٢ + · · · + α
s−١
٢
zm−١,١)
+α۵(zm−١,s−١ + α٢zm−١,s−٢ + α
٢
٢
zm−١,s−٣ + · · · + α
s−٢
٢
zm−١,١).
.است j = ١, . . . , n و i = ١, . . . , m برای Zˆ
i,j = E[
Zi,j | Z = z
]
با توجه به این که j,zi=
به طور کلی پیش گویی مقادیر واقع در سطر kام (. . . ,٢, ١ = k (از ناحیه A١ با استفاده از روابط (١٩(
و (٢٠ (به صورت



Zˆm+k,١ = α١Zˆm+k−١,١ + α۴Zˆm+k−٢,١,
Zˆm+k,s = α١Zˆm+k−١,s + α٢Zˆm+k,s−١ + α٣Zˆm+k−١,s−١
+α۴Zˆm+k−٢,s + α۵Zˆm+k−١,s−١; s = ٢, · · · , n,
(٢٣)
٢٠٢ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . پیش گویی فضایی با مدل های اتورگرسیو
محاسبه می شوند. برای پیش گویی نقاط واقع در ستون sام (. . . ,٢, ١ = s (از ناحیه A٢ به طریق مشابه




١,n+s = α٢Zˆ
١,n+s−١,

٢,n+s = α١Zˆ
١,n+s + α٢Zˆ
٢,n+s−١ + α٣Zˆ
١,n+s−١,

k,n+s = α١Zˆ
k−١,n+s + α٢Zˆ
k,n+s−١ + α٣Zˆ
k−١,n+s−١ + α۴Zˆ
k−٢,n+s
+ α۵Zˆ
k−١,n+s−١; k = ٣, ۴, · · · ,
(٢۴)
است. پیش گویی متغیر خارج قلمرو با الگوریتم ٢ قابل محاسبه است.
الگوریتم ٢.
• گام ١ .مدل (٣ (به داده ها برازش و پارامترهای مدل با استفاده از (٩) ،(١٠ (و (١١ (برآورد شوند.
• گام ٢ .نقاط درون ناحیه A١ با استفاده از (٢٣ (پیش گویی شوند.
• گام ٣ .نقاط درون ناحیه A٢ با استفاده از (٢۴ (پیش گویی شوند.
واضح است که با استفاده از مدل (٣ (نمی توان نقاط درون ناحیه های B ،C و D را پیش گویی کرد.
۴ مثال کاربردی
در این بخش روش های پیش گویی برای داده های تصویر امارت کلاه فرنگی بیرجند مورد استفاده قرار می گیرند
و دقت پیش گویی ارزیابی می شوند. هر گاه یک عکس اسکن شود تصویری با ابعاد مشخص ایجاد می شود
که هر چقدر تعداد پیکسل ها زیاد شود کیفیت رویت تصویر افزایش می یابد.
در برآورد پارامترهای مدل برای داده های مشبکه ای با افزایش حجم نمونه ماتریس هایی با ابعاد بزرگ
ایجاد می شود که محاسبه آن ها نیاز به حجم بالای حافظه دارد و محاسبه آن برای نرم افزار امکان پذیر نیست.
یک راه حل ارئه تصویر با ابعاد کوچک تر است که این کار باعث پایین آمدن کیفیت تصویر می شود.
برای تبدیل تصویر به مجموعه داده ها، می توان بسته نرم افزار jpeg را در نرم افزار R نصب کرده و از
فرمان (“jpeg.kolah:/e(”readJPEG=img استفاده نمود. نتیجه این فرمان یک آرایه داده است
که به خاطر سیاه و سفید بودن تصویر فقط از بعد اول و دوم آن به صورت [۱[„img= Z استفاده می شود
لذا آرایه داده ها به یک ماتریس تبدیل می شود.
آزاده مجیری و همکاران . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ٢٠٣
شکل ٢ تصویر امارت کلاه فرنگی بیرجند را نشان می دهد که با استفاده از فرمان
تصویر این از حاصل های داده. شود می رسم image(c(1:95),c(1:70),Z,col=grey(c(1:20)/20))
(α۵, . . . , α١ = (α و µ با برنامه نویسی در نرم افزار
ماتریسی با ابعاد ٧٠×٩۵ است. برآورد پارامترهای ′
برابر مجهول میانگین با و αˆ = (٠/٨٢, ٠/٨۵, −٠/٧١, −٠/٠۴, ٠/٠٧)

R با میانگین صفر برابر
.گردید حاصل αˆ = (٠/٧۶, ٠/٨١, −٠/۶۶, −٠/٠٧, ٠/١١)

،µˆ = ٠/٩
شکل ٢ .تصویر امارت کلاه فرنگی بیرجند
برای پیش گویی در قلمرو داده ها، با استفاده از کل داده ها (روش اول) و داده های ربع سوم (روش
ˆZ پیش گویی j,Zi باشد با استفاده
دوم) به ترتیب از روابط (١٧ (و (١٨ (استفاده می شود. در صورتی که j,i
١ = MAPE و میانگین توان دوم


i

j
|Zi,j − Zˆ
از میانگین قدر مطلق خطای پیش گویی | j,i
١ = MSPE دقت پیش گویی ارزیابی می شود که در روش


i

j
(Zi,j − Zˆ
i,j )
خطای پیش گویی ٢
N١ = (m − ٢) × (n − ١) = ۶۴١٧ دوم روش در و N١ = (m − ۴) × (n − ٢) = ۶١٨٨ اول
است.
جدول ١ .میانگین قدر مطلق خطا و توان دوم خطا دو روش پیش گویی درون یابی
ملاک ارزیابی پیش گویی با داده های ربع سوم پیش گویی با کل داده ها
µ = ٠ µ ̸= ٠ µ = ٠ µ ̸= ٠
٠/٠٧٧٠ ٠/١١٠٠ ٠/٠٣۶٠ ٠/٠٣۶٠ MAPE
٠/٠٢٢٠ ٠/٠٢۵٠ ٠/٠٠٧٢ ٠/٠٠٧٣ MSPE
٢٠۴ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . پیش گویی فضایی با مدل های اتورگرسیو
نتایج در جدول ١ بیان گر آن است که میانگین قدر مطلق خطای پیش گویی و میانگین توان دوم خطای
پیش گویی روش اول کمتر از روش دوم است زیرا در روش اول از مشاهدات بیشتری برای پیش گویی
استفاده می شود لذا دقت پیش گویی بهتر است. همچنین نتایج در روش اول برای ٠ = µ و ٠ ̸= µ تفاوت
چندانی ندارد هر چند انتظار می رود که پیش گویی در حالت ٠ ̸= µ دقیق تر از ٠ = µ باشد که این به علت
کم بودن حجم داده های مورد استفاده است. به عنوان نمونه در جدول ٢ بخشی از داده های اصلی و مقادیر
پیش گویی شده آن ها به دو روش فوق آمده است.
جدول ٢ .بخشی از داده های اصلی و داده های پیش گویی شده در حالت ٠ ̸= µ
مقدار واقعی پیش گوییj,Zi
i j j,Zi روش اول روش دوم
− − ١/٠ ١ ٣
١/٠٢۶ ١/٠٢٣ ٠/٩٧۶ ٢ ٣
٠/٩۴٣ ٠/٩۶۶ ٠/٩٨٨ ٣ ٣
٠/٩٩ ٠/٩٩ ١/٠ ۴ ٣
− − ٠/٩٧٢ ١ ۴
٠/٩۵ ٠/٩۶۵ ٠/٩٩٢ ٢ ۴
٠/٩٩٨ ١/٠٠٧ ٠/٩٨٨ ٣ ۴
٠/٩٩١ ٠/٩٩٢ ٠/٩٩۶ ۴ ۴
در شکل ٣ تصویر پیش گویی امارت کلاه فرنگی با استفاده از دو روش پیش گویی در حالت ٠ ̸= µ
رسم شده است.
شکل ٣ .تصویر امارت کلاه فرنگی بر اساس پیش گویی ب-به روش اول و الف- به روش دوم
آزاده مجیری و همکاران . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ٢٠۵
به منظور ارزیابی پیشگویی خارج قلمرو داده ها ابتدا داده های سطرهای ٨۶ تا ٩۵ و ستون های ۶١ تا
٧٠ از کل داده ها حذف شده اند. با استفاده از داده های باقی مانده با ابعاد ۶٠×٨۵ پارامترها را مانند حالت
قبل برآورد نموده و برای داده های ١٠ × ١٠ پیش گویی انجام شده است.
با و αˆ = (٠/٨١, ٠/٨۵, −٠/٧, −٠/٠٣, ٠/٠۶) صفر میانگین با) ٣) مدل پارامترهای برآورد
.گردید حاصل αˆ = (٠/٧۶, ٠/٨١, −٠/۶۵, −٠/٠۶, ٠/٠٩) و µˆ = ٠/٨٨ برابر مجهول میانگین
پیش گویی ١٠ ستون عمودی و ١٠سطر افقی آخر با استفاده از (٢٣ (و (٢۴ (محاسبه شده و با استفاده
١ = MARE دقت پیش گویی
K × S

K
k=١

S
s=١

Zk,s − Zˆ
k,s
Zk,s

از میانگین قدر مطلق خطای نسبی،
مورد ارزیابی قرار گرفته است. مقدار میانگین قدر مطلق خطای نسبی در حالت ٠ = µ و ٠ ̸= µ به ترتیب
برابر ١٣/٠ و ١/٠ است. میانگین قدر مطلق خطای نسبی برون یابی در حالت ٠ ̸= µ کمتر می باشد، هر
چند خطای نسبی در هر دو روش در حد متوسط ١٠ درصد است. تصویر پیش گویی در شکل ۴ رسم شده
است که نواحی مات نواحی پیش گویی شده است.
شکل ۴ .تصویر پیش گویی امارت کلا۵ه فرنگی
بحث و نتیجه گیری
در این مقاله دقت مدل (١, ٢(SAR ،برای پیش گویی در قلمرو داده ها (درون یابی) با استفاده از کل داده ها
و داده های ربع سوم مورد ارزیابی قرار گرفت. همچنین برای داده های مشبکه ای پیش گویی برای مقادیر
خارج قلمرو داده ها (برون یابی) انجام شد و از کلیه مشاهدات استفاده گردید. اشکال این پیش گویی آن
٢٠۶ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . پیش گویی فضایی با مدل های اتورگرسیو
است که تنها می توان مشاهداتی که در سمت راست و بالای داده ها واقع است را پیش گویی کرد (نواحی
A١ و A٢ در شکل ١ (و برای پیش گویی مشاهدات دیگر (نواحی B ،C و D (از مدل ربع سوم نمی توان
استفاده کرد و باید سراغ مدل های ربع بالا رفت. پیشنهاد می شود که برای پیش گویی کلیه نواحی اطراف
داده ها هر دو مدل ربع سوم و ربع بالا به طور جداگانه به داده ها برازش داده شود، سپس به کمک آن ها دو
ضلع پیش گویی شوند.
همچنین با استفاده از داده های امارت کلاه فرنگی بیرجند درون یابی و برون یابی انجام شد. در پیش گویی
درون قلمرو داده ها نتایج نشان داد که پیش گویی با استفاده از کل داده ها (روش اول)، پیش گویی دقیق تری
نسبت به پیش گویی ربع سوم داده ها (روش دوم) دارد زیرا از کلیه مشاهدات در نزدیک ترین همسایگی
استفاده می کند ولی در پیش گویی ربع سوم مشاهدات کمتری استفاده شده و دقت آن پایین تر است. اما
از آنجایی که یکی از اهداف پیش گویی درون داده ها ارزیابی دقت مدل ها است فرقی نمی کند از کدام روش
استفاده شود، زیرا این دو روش مانند دو متر مختلف برای ارزیابی خطا هستند. علیرغم کم بودن خطای
روش اول، روش دوم پیشنهاد می شود. زیرا اولا محاسبه عددی آن بسیار ساده تر از روش اول است و تعمیم
آن به مدل های SAR مراتب بالا میسر است. ثانیا هماهنگی کامل با مدل (٣ (را دارد و در واقع شکل
دیگری از مدل می باشد. ثالثا با اندک تغییراتی که در فرمول صورت می گیرد برای پیش گویی در خارج
قلمرو داده ها نیز قابل استفاده است. همان طور که اشاره شد پیش گویی در خارج قلمرو داده ها با روش اول
امکان پذیر نیست زیرا با توجه به رابطه (١٧ (علاوه بر داده های ربع سوم، داده های ربع دوم موقعیت نیز
مورد نیاز است. در کل با جمیع شرایط و دلایلی که ذکر شد روش دوم برای پیش گویی درون و خارج قلمرو
داده ها پیشنهاد می شود.
تقدیر و تشکر
نویسندگان کمال تشکر و قدردانی را از داوران محترم و هیئت تحریریه مجله علوم آماری که سبب ارتقا
سطح کیفی مقاله شدند، ابراز می دارند.
مراجع
محمدزاده، م. (١٣٩۴ ،(آمار فضایی و کاربردهای آن، چاپ دوم، مرکز نشر آثار علمی، تهران، دانشگاه
تربیت مدرس.
آزاده مجیری و همکاران . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ٢٠٧
Awang, N., and Shitan, M. (2006), Estimating the Parameters of the Second Order Spatial Unilateral Autoregressive Model, International Journal of Statistical Sciences, 5, 37-58.
Baran, S., and Pap, G. (2012), Parameter Estimation in a Spatial Unilateral Unit Root Autoregressive Model, Journal of Multivariate Analysis,
۱۰۷, ۲۸۲-۳۰۵٫
Bartlett, M. S. (1971), Physical Nearest-Neighbour Models and Non-Linear
Time Series, Journal of Applied Probability, 8, 222-232.
Bartlett, M. S. (1978), Nearest Neighbour Models in the Analysis of Field
Experiments. Journal of the Royal Statistical Society, Series B (Methodological), 40(2), 147-174.
Basawa, I. V., Brockwell, P. J., and Mandrekar, V. (1992), Inference for
Spatial Time Series, In Computing Science and Statistics, Springer,
New York, 301-302.
Basu, S., and Reinsel, G. C. (1992), A Note on Properties of Spatial YuleWalker Estimators, Journal of statistical computation and simulation,
۴۱, ۲۴۳-۲۵۵٫
Basu, S., and Reinsel, G. C. (1993), Properties of the Spatial Unilateral
First-Order ARMA Model, Advances in Applied Probability, 25, 631-
۶۴۸٫
Basu, S., and Reinsel, G. C. (1994), Regression Models with Spatially
Correlated Errors, Journal of the American Statistical Association,
۸۹, ۸۸-۹۹٫
Besag, J. (1974), Spatial Interaction and the Statistical Analysis of Lattice
Systems, Journal of the Royal Statistical Society, Series B (Methodological), 36, 192-236.
Bhattacharyya, B. B., Richardson, G. D., and Franklin, L. A. (1997),
Asymptotic Inference for Near Unit Roots in Spatial Autoregression,
The Annals of Statistics, 25, 1709-1724.
Bustos, O., Fraiman, R., and Yohai, V. J. (1984), Asymptotic Behaviour of
the Estimates Based on Residual Autocovariances for ARMA Models,
In Robust and Nonlinear Time Series Analysis, Springer, New York,
NY, 26-49.
Cressie, N. (1993), Statistics for Spatial Data, John Wiley, New York.
Cullis, B. R., and Gleeson, A. C. (1991), Spatial Analysis of Field
Experiments-an Extension to Two Dimensions, Biometrics, 47, 1449-
۱۴۶۰٫
٢٠٨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . پیش گویی فضایی با مدل های اتورگرسیو
Davydov, Y., and Paulauskas, V. (2008), On Estimation of Parameters
for Spatial Autoregressive Model, Statistical Inference for Stochastic
Processes, 11, 237-247.
Genton, M. G. and Koul, H .L. (2008), Minimum Distance Inference in
Unilateral Autoregressive Lattice Processes, Statistica Sinica, 18, 617-
۶۳۱٫
Goryainov, V. B. (2011). Least-Modules Estimates for Spatial Autoregression Coefficients, Journal of Computer and Systems Sciences International, 50 , 565-572.
Grau, E. A., and Lu, J. C. (2004), Robust Estimation in a Spatial Unilateral Autoregressive model, School of Industrial and Systems Engineering, Institute of Technology, Atlanta, GA.
Griffith, D. A. (2004), Faster Maximum Likelihood Estimation of Very
Large Spatial Autoregressive Models: An Extension of the Smirnov–
Anselin Result, Journal of Statistical Computation and Simulation, 74,
۸۵۵-۸۶۶٫
Haining, R. P. (1978), Estimating Spatial-Interaction Models, Environment and Planning A, 10, 305-320.
Martin, R. J. (1979), A Subclass of Lattice Processes Applied to a Problem
in Planar Sampling, Biometrika, 66, 209-2 17.
Martin, R. J. (1996), Some Results on Unilateral ARMA Lattice Processes,
Journal of Statistical Planning and Inference, 50, 395-411.
Ord, K. (1975), Estimation Methods for Models of Spatial Interaction,
Journal of the American Statistical Association, 70, 120-126.
Tjøstheim, D. (1978), Statistical Spatial Series Modeling, Advances in Applied Probability, 10, 130-154.
Tjostheim, D. (1983), Statistical Spatial Series Modelling II: Some Further
Results on Unilateral Lattice Processes, Advances in Applied Probability, 15, 562-584.
Whittle, P. (1954), On Sationary Processes in the Plane, Biometrika, 41,
۴۳۴-۴۴۹٫
Yao, Q., and Brockwell, P. J. (2006), Gaussian Maximum Likelihood Estimation for ARMA Models II: Spatial Processes, Bernoulli, 12, 403-429.

(Visited 3 times, 1 visits today)

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *

*

code